r^2+3r-40 lösen

$$r ^ { 2 } + 3 r - 40$$

Faktorisieren

$$\left(r-5\right)\left(r+8\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als r^{2}+ar+br-40 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=3 ab=1\left(-40\right)=-40$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -40 ergeben.

$$-1,40 -2,20 -4,10 -5,8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+40=39 -2+20=18 -4+10=6 -5+8=3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 3 ergibt.

$$a=-5 b=8$$

r^{2}+3r-40 als \left(r^{2}-5r\right)+\left(8r-40\right) umschreiben.

$$\left(r^{2}-5r\right)+\left(8r-40\right)$$

Klammern Sie r in der ersten und 8 in der zweiten Gruppe aus.

$$r\left(r-5\right)+8\left(r-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term r-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(r-5\right)\left(r+8\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$r^{2}+3r-40=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$r=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-40\right)}}{2}$$

3 zum Quadrat.

$$r=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-40\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -40.

$$r=\frac{-3±\sqrt{9+160}}{2}$$

Addieren Sie 9 zu 160.

$$r=\frac{-3±\sqrt{169}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 169.

$$r=\frac{-3±13}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung r=\frac{-3±13}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -3 zu 13.

$$r=\frac{10}{2}$$

Dividieren Sie 10 durch 2.

$$r=5$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung r=\frac{-3±13}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 13 von -3.

$$r=-\frac{16}{2}$$

Dividieren Sie -16 durch 2.

$$r=-8$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 5 und für x_{2} -8 ein.

$$r^{2}+3r-40=\left(r-5\right)\left(r-\left(-8\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$r^{2}+3r-40=\left(r-5\right)\left(r+8\right)$$

Auswerten

$$\left(r-5\right)\left(r+8\right)$$