p^2-4p-117 lösen

$$p ^ { 2 } - 4 p - 117$$

Faktorisieren

$$\left(p-13\right)\left(p+9\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als p^{2}+ap+bp-117 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-4 ab=1\left(-117\right)=-117$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -117 ergeben.

$$1,-117 3,-39 9,-13$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-117=-116 3-39=-36 9-13=-4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -4 ergibt.

$$a=-13 b=9$$

p^{2}-4p-117 als \left(p^{2}-13p\right)+\left(9p-117\right) umschreiben.

$$\left(p^{2}-13p\right)+\left(9p-117\right)$$

Klammern Sie p in der ersten und 9 in der zweiten Gruppe aus.

$$p\left(p-13\right)+9\left(p-13\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term p-13 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(p-13\right)\left(p+9\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$p^{2}-4p-117=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$p=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-117\right)}}{2}$$

-4 zum Quadrat.

$$p=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-117\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -117.

$$p=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+468}}{2}$$

Addieren Sie 16 zu 468.

$$p=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{484}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 484.

$$p=\frac{-\left(-4\right)±22}{2}$$

Das Gegenteil von -4 ist 4.

$$p=\frac{4±22}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung p=\frac{4±22}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 4 zu 22.

$$p=\frac{26}{2}$$

Dividieren Sie 26 durch 2.

$$p=13$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung p=\frac{4±22}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 22 von 4.

$$p=-\frac{18}{2}$$

Dividieren Sie -18 durch 2.

$$p=-9$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 13 und für x_{2} -9 ein.

$$p^{2}-4p-117=\left(p-13\right)\left(p-\left(-9\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$p^{2}-4p-117=\left(p-13\right)\left(p+9\right)$$

Auswerten

$$\left(p-13\right)\left(p+9\right)$$