p^2-11p+28 lösen

$$p ^ { 2 } - 11 p + 28$$

Faktorisieren

$$\left(p-7\right)\left(p-4\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als p^{2}+ap+bp+28 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-11 ab=1\times 28=28$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 28 ergeben.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -11 ergibt.

$$a=-7 b=-4$$

p^{2}-11p+28 als \left(p^{2}-7p\right)+\left(-4p+28\right) umschreiben.

$$\left(p^{2}-7p\right)+\left(-4p+28\right)$$

Klammern Sie p in der ersten und -4 in der zweiten Gruppe aus.

$$p\left(p-7\right)-4\left(p-7\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term p-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(p-7\right)\left(p-4\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$p^{2}-11p+28=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$p=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 28}}{2}$$

-11 zum Quadrat.

$$p=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 28}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 28.

$$p=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-112}}{2}$$

Addieren Sie 121 zu -112.

$$p=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 9.

$$p=\frac{-\left(-11\right)±3}{2}$$

Das Gegenteil von -11 ist 11.

$$p=\frac{11±3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung p=\frac{11±3}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 11 zu 3.

$$p=\frac{14}{2}$$

Dividieren Sie 14 durch 2.

$$p=7$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung p=\frac{11±3}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 3 von 11.

$$p=\frac{8}{2}$$

Dividieren Sie 8 durch 2.

$$p=4$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 7 und für x_{2} 4 ein.

$$p^{2}-11p+28=\left(p-7\right)\left(p-4\right)$$

Auswerten

$$\left(p-7\right)\left(p-4\right)$$