n^2-n-210=0 lösen

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

Nach n auflösen

$$n=-14$$

$$n=15$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor n^{2}-n-210 mithilfe der Formel n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-1 ab=-210$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -210 ergeben.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -1 ergibt.

$$a=-15 b=14$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(n+a\right)\left(n+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie n-15=0 und n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als n^{2}+an+bn-210 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -210 ergeben.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -1 ergibt.

$$a=-15 b=14$$

n^{2}-n-210 als \left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right) umschreiben.

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

Klammern Sie n in der ersten und 14 in der zweiten Gruppe aus.

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term n-15 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie n-15=0 und n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$n^{2}-n-210=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -1 und c durch -210, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -210.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

Addieren Sie 1 zu 840.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 841.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

Das Gegenteil von -1 ist 1.

$$n=\frac{1±29}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{1±29}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 1 zu 29.

$$n=\frac{30}{2}$$

Dividieren Sie 30 durch 2.

$$n=15$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{1±29}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 29 von 1.

$$n=-\frac{28}{2}$$

Dividieren Sie -28 durch 2.

$$n=-14$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$n=15 n=-14$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$n^{2}-n-210=0$$

Addieren Sie 210 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

Die Subtraktion von -210 von sich selbst ergibt 0.

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

Subtrahieren Sie -210 von 0.

$$n^{2}-n=210$$

Dividieren Sie -1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

Addieren Sie 210 zu \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

Faktor n^{2}-n+\frac{1}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

Vereinfachen.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$n=15 n=-14$$