n^2-n=120 lösen

$$n ^ { 2 } - n = 120$$

Nach n auflösen

$$n = \frac{\sqrt{481} + 1}{2} \approx 11,4658561$$

$$n=\frac{1-\sqrt{481}}{2}\approx -10,4658561$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$n^{2}-n=120$$

120 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$n^{2}-n-120=120-120$$

Die Subtraktion von 120 von sich selbst ergibt 0.

$$n^{2}-n-120=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -1 und c durch -120, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-120\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -120.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+480}}{2}$$

Addieren Sie 1 zu 480.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{481}}{2}$$

Das Gegenteil von -1 ist 1.

$$n=\frac{1±\sqrt{481}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{1±\sqrt{481}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 1 zu \sqrt{481}.

$$n=\frac{\sqrt{481}+1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{1±\sqrt{481}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{481} von 1.

$$n=\frac{1-\sqrt{481}}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$n=\frac{\sqrt{481}+1}{2} n=\frac{1-\sqrt{481}}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$n^{2}-n=120$$

Dividieren Sie -1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=120+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=120+\frac{1}{4}$$

Addieren Sie 120 zu \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{481}{4}$$

Faktor n^{2}-n+\frac{1}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{481}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{481}{4}}$$

Vereinfachen.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{481}}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{481}}{2}$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$n=\frac{\sqrt{481}+1}{2} n=\frac{1-\sqrt{481}}{2}$$