n^2-4019n+2009^2leq0 lösen

$$n ^ { 2 } - 4019 n + 2009 ^ { 2 } \leq 0$$

Für n lösen

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Potenzieren Sie 2009 mit 2, und erhalten Sie 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081\leq 0$$

Um die Ungleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite. Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -4019 und c durch 4036081.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{\left(-4019\right)^{2}-4\times 1\times 4036081}}{2}$$

Berechnungen ausführen.

$$n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}$$

Lösen Sie die Gleichung n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}, wenn ± Plus ist und wenn ± minus ist.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

Die Ungleichung umschreiben, indem Sie die erhaltenen Lösungen verwenden.

$$\left(n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right)\left(n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\right)\leq 0$$

Damit das Produkt ≤0 wird, muss einer der Werte n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} und n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2} ≥0 sein, und die andere muss ≤0 sein. Betrachten Sie den Fall, wenn n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 und n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0.

$$n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0$$

Dies ist falsch für alle n.

$$n\in \emptyset$$

Betrachten Sie den Fall, wenn n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0 und n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0.

$$n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0 n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0$$

Die Lösung, die beide Ungleichungen erfüllt, lautet n\in \left[\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right].

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

Die endgültige Lösung ist die Vereinigung der erhaltenen Lösungen.

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$