n^2-11n-60=0 lösen

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

Nach n auflösen

$$n=-4$$

$$n=15$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor n^{2}-11n-60 mithilfe der Formel n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-11 ab=-60$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -60 ergeben.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -11 ergibt.

$$a=-15 b=4$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(n+a\right)\left(n+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie n-15=0 und n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als n^{2}+an+bn-60 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -60 ergeben.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -11 ergibt.

$$a=-15 b=4$$

n^{2}-11n-60 als \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right) umschreiben.

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

Klammern Sie n in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term n-15 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie n-15=0 und n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -11 und c durch -60, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

-11 zum Quadrat.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -60.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

Addieren Sie 121 zu 240.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 361.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

Das Gegenteil von -11 ist 11.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{11±19}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 11 zu 19.

$$n=\frac{30}{2}$$

Dividieren Sie 30 durch 2.

$$n=15$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{11±19}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 19 von 11.

$$n=-\frac{8}{2}$$

Dividieren Sie -8 durch 2.

$$n=-4$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$n=15 n=-4$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Addieren Sie 60 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Die Subtraktion von -60 von sich selbst ergibt 0.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

Subtrahieren Sie -60 von 0.

$$n^{2}-11n=60$$

Dividieren Sie -11, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{11}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{11}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{11}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

Addieren Sie 60 zu \frac{121}{4}.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

Faktor n^{2}-11n+\frac{121}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Vereinfachen.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Addieren Sie \frac{11}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$n=15 n=-4$$