n^2+n-112=0 lösen

$$n ^ { 2 } + n - 112 = 0$$

Nach n auflösen

$$n = \frac{\sqrt{449} - 1}{2} \approx 10,09481005$$

$$n=\frac{-\sqrt{449}-1}{2}\approx -11,09481005$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$n^{2}+n-112=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 1 und c durch -112, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-112\right)}}{2}$$

1 zum Quadrat.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-112\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -112.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1+448}}{2}$$

Addieren Sie 1 zu 448.

$$n=\frac{-1±\sqrt{449}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{-1±\sqrt{449}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -1 zu \sqrt{449}.

$$n=\frac{\sqrt{449}-1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{-1±\sqrt{449}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{449} von -1.

$$n=\frac{-\sqrt{449}-1}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$n=\frac{\sqrt{449}-1}{2} n=\frac{-\sqrt{449}-1}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$n^{2}+n-112=0$$

Addieren Sie 112 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$n^{2}+n-112-\left(-112\right)=-\left(-112\right)$$

Die Subtraktion von -112 von sich selbst ergibt 0.

$$n^{2}+n=-\left(-112\right)$$

Subtrahieren Sie -112 von 0.

$$n^{2}+n=112$$

Dividieren Sie 1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=112+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=112+\frac{1}{4}$$

Addieren Sie 112 zu \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{449}{4}$$

Faktor n^{2}+n+\frac{1}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{449}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{449}{4}}$$

Vereinfachen.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{449}}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{449}}{2}$$

\frac{1}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$n=\frac{\sqrt{449}-1}{2} n=\frac{-\sqrt{449}-1}{2}$$