n^2+7n+5=0 lösen

$$n ^ { 2 } + 7 n + 5 = 0$$

Nach n auflösen

$$n=\frac{\sqrt{29}-7}{2}\approx -0,807417596$$

$$n=\frac{-\sqrt{29}-7}{2}\approx -6,192582404$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$n^{2}+7n+5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 7 und c durch 5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 5}}{2}$$

7 zum Quadrat.

$$n=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 5}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$n=\frac{-7±\sqrt{49-20}}{2}$$

Addieren Sie 49 zu -20.

$$n=\frac{-7±\sqrt{29}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{-7±\sqrt{29}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -7 zu \sqrt{29}.

$$n=\frac{\sqrt{29}-7}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{-7±\sqrt{29}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{29} von -7.

$$n=\frac{-\sqrt{29}-7}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$n=\frac{\sqrt{29}-7}{2} n=\frac{-\sqrt{29}-7}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$n^{2}+7n+5=0$$

5 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$n^{2}+7n+5-5=-5$$

Die Subtraktion von 5 von sich selbst ergibt 0.

$$n^{2}+7n=-5$$

Dividieren Sie 7, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{7}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{7}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$n^{2}+7n+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-5+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{7}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$n^{2}+7n+\frac{49}{4}=-5+\frac{49}{4}$$

Addieren Sie -5 zu \frac{49}{4}.

$$n^{2}+7n+\frac{49}{4}=\frac{29}{4}$$

Faktor n^{2}+7n+\frac{49}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(n+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{29}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(n+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{4}}$$

Vereinfachen.

$$n+\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{29}}{2} n+\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{29}}{2}$$

\frac{7}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$n=\frac{\sqrt{29}-7}{2} n=\frac{-\sqrt{29}-7}{2}$$