n+1=n^2-1 lösen

$$n + 1 = n ^ { 2 } - 1$$

Nach n auflösen

$$n=-1$$

$$n=2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie n^{2} von beiden Seiten.

$$n+1-n^{2}=-1$$

Auf beiden Seiten 1 addieren.

$$n+1-n^{2}+1=0$$

Addieren Sie 1 und 1, um 2 zu erhalten.

$$n+2-n^{2}=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-n^{2}+n+2=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -n^{2}+an+bn+2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=1 ab=-2=-2$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Das einzige derartige Paar ist die Lösung des Systems.

$$a=2 b=-1$$

-n^{2}+n+2 als \left(-n^{2}+2n\right)+\left(-n+2\right) umschreiben.

$$\left(-n^{2}+2n\right)+\left(-n+2\right)$$

Klammern Sie -n in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$-n\left(n-2\right)-\left(n-2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term n-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(n-2\right)\left(-n-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie n-2=0 und -n-1=0.

$$n=2 n=-1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Subtrahieren Sie n^{2} von beiden Seiten.

$$n+1-n^{2}=-1$$

Auf beiden Seiten 1 addieren.

$$n+1-n^{2}+1=0$$

Addieren Sie 1 und 1, um 2 zu erhalten.

$$n+2-n^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-n^{2}+n+2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch 1 und c durch 2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

1 zum Quadrat.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1+4\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 4 mit 2.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1+8}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 1 zu 8.

$$n=\frac{-1±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 9.

$$n=\frac{-1±3}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$n=\frac{-1±3}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{-1±3}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -1 zu 3.

$$n=\frac{2}{-2}$$

Dividieren Sie 2 durch -2.

$$n=-1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{-1±3}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 3 von -1.

$$n=-\frac{4}{-2}$$

Dividieren Sie -4 durch -2.

$$n=2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$n=-1 n=2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Subtrahieren Sie n^{2} von beiden Seiten.

$$n+1-n^{2}=-1$$

Subtrahieren Sie 1 von beiden Seiten.

$$n-n^{2}=-1-1$$

Subtrahieren Sie 1 von -1, um -2 zu erhalten.

$$n-n^{2}=-2$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-n^{2}+n=-2$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-n^{2}+n}{-1}=-\frac{2}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$n^{2}+\frac{1}{-1}n=-\frac{2}{-1}$$

Dividieren Sie 1 durch -1.

$$n^{2}-n=-\frac{2}{-1}$$

Dividieren Sie -2 durch -1.

$$n^{2}-n=2$$

Dividieren Sie -1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Addieren Sie 2 zu \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktor n^{2}-n+\frac{1}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Vereinfachen.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$n=2 n=-1$$