k^2-3k-180 lösen

$$k ^ { 2 } - 3 k - 180$$

Faktorisieren

$$\left(k-15\right)\left(k+12\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als k^{2}+ak+bk-180 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-3 ab=1\left(-180\right)=-180$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -180 ergeben.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -3 ergibt.

$$a=-15 b=12$$

k^{2}-3k-180 als \left(k^{2}-15k\right)+\left(12k-180\right) umschreiben.

$$\left(k^{2}-15k\right)+\left(12k-180\right)$$

Klammern Sie k in der ersten und 12 in der zweiten Gruppe aus.

$$k\left(k-15\right)+12\left(k-15\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term k-15 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(k-15\right)\left(k+12\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$k^{2}-3k-180=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$k=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

-3 zum Quadrat.

$$k=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-180\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -180.

$$k=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+720}}{2}$$

Addieren Sie 9 zu 720.

$$k=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{729}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 729.

$$k=\frac{-\left(-3\right)±27}{2}$$

Das Gegenteil von -3 ist 3.

$$k=\frac{3±27}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung k=\frac{3±27}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 3 zu 27.

$$k=\frac{30}{2}$$

Dividieren Sie 30 durch 2.

$$k=15$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung k=\frac{3±27}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 27 von 3.

$$k=-\frac{24}{2}$$

Dividieren Sie -24 durch 2.

$$k=-12$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 15 und für x_{2} -12 ein.

$$k^{2}-3k-180=\left(k-15\right)\left(k-\left(-12\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$k^{2}-3k-180=\left(k-15\right)\left(k+12\right)$$

Auswerten

$$\left(k-15\right)\left(k+12\right)$$