k^2+13k+30=0 lösen

$$k ^ { 2 } + 13 k + 30 = 0$$

Nach k auflösen

$$k=-10$$

$$k=-3$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor k^{2}+13k+30 mithilfe der Formel k^{2}+\left(a+b\right)k+ab=\left(k+a\right)\left(k+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=13 ab=30$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 30 ergeben.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 13 ergibt.

$$a=3 b=10$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(k+a\right)\left(k+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(k+3\right)\left(k+10\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie k+3=0 und k+10=0.

$$k=-3 k=-10$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als k^{2}+ak+bk+30 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=13 ab=1\times 30=30$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 30 ergeben.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 13 ergibt.

$$a=3 b=10$$

k^{2}+13k+30 als \left(k^{2}+3k\right)+\left(10k+30\right) umschreiben.

$$\left(k^{2}+3k\right)+\left(10k+30\right)$$

Klammern Sie k in der ersten und 10 in der zweiten Gruppe aus.

$$k\left(k+3\right)+10\left(k+3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term k+3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(k+3\right)\left(k+10\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie k+3=0 und k+10=0.

$$k=-3 k=-10$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$k^{2}+13k+30=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 13 und c durch 30, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 30}}{2}$$

13 zum Quadrat.

$$k=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 30}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 30.

$$k=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2}$$

Addieren Sie 169 zu -120.

$$k=\frac{-13±\sqrt{49}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 49.

$$k=\frac{-13±7}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung k=\frac{-13±7}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -13 zu 7.

$$k=-\frac{6}{2}$$

Dividieren Sie -6 durch 2.

$$k=-3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung k=\frac{-13±7}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 7 von -13.

$$k=-\frac{20}{2}$$

Dividieren Sie -20 durch 2.

$$k=-10$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$k=-3 k=-10$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$k^{2}+13k+30=0$$

30 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$k^{2}+13k+30-30=-30$$

Die Subtraktion von 30 von sich selbst ergibt 0.

$$k^{2}+13k=-30$$

Dividieren Sie 13, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{13}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{13}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$k^{2}+13k+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}=-30+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{13}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$k^{2}+13k+\frac{169}{4}=-30+\frac{169}{4}$$

Addieren Sie -30 zu \frac{169}{4}.

$$k^{2}+13k+\frac{169}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktor k^{2}+13k+\frac{169}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(k+\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(k+\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Vereinfachen.

$$k+\frac{13}{2}=\frac{7}{2} k+\frac{13}{2}=-\frac{7}{2}$$

\frac{13}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$k=-3 k=-10$$