f(x)=5x^2+10x-15 lösen

$$f ( x ) = 5 x ^ { 2 } + 10 x - 15$$

Faktorisieren

$$5\left(x-1\right)\left(x+3\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 5 aus.

$$5\left(x^{2}+2x-3\right)$$

Betrachten Sie x^{2}+2x-3. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als x^{2}+ax+bx-3 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=2 ab=1\left(-3\right)=-3$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Das einzige derartige Paar ist die Lösung des Systems.

$$a=-1 b=3$$

x^{2}+2x-3 als \left(x^{2}-x\right)+\left(3x-3\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(3x-3\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-1\right)\left(x+3\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$5\left(x-1\right)\left(x+3\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$5x^{2}+10x-15=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

10 zum Quadrat.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -15.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+300}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 100 zu 300.

$$x=\frac{-10±\sqrt{400}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 400.

$$x=\frac{-10±20}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{-10±20}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-10±20}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -10 zu 20.

$$x=\frac{10}{10}$$

Dividieren Sie 10 durch 10.

$$x=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-10±20}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 20 von -10.

$$x=-\frac{30}{10}$$

Dividieren Sie -30 durch 10.

$$x=-3$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 1 und für x_{2} -3 ein.

$$5x^{2}+10x-15=5\left(x-1\right)\left(x-\left(-3\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$5x^{2}+10x-15=5\left(x-1\right)\left(x+3\right)$$

Auswerten

$$5\left(x-1\right)\left(x+3\right)$$