f(x)=25x^2+100x+99 lösen

$$f ( x ) = 25 x ^ { 2 } + 100 x + 99$$

Faktorisieren

$$\left(5x+9\right)\left(5x+11\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 25x^{2}+ax+bx+99 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=100 ab=25\times 99=2475$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 2475 ergeben.

$$1,2475 3,825 5,495 9,275 11,225 15,165 25,99 33,75 45,55$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+2475=2476 3+825=828 5+495=500 9+275=284 11+225=236 15+165=180 25+99=124 33+75=108 45+55=100$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 100 ergibt.

$$a=45 b=55$$

25x^{2}+100x+99 als \left(25x^{2}+45x\right)+\left(55x+99\right) umschreiben.

$$\left(25x^{2}+45x\right)+\left(55x+99\right)$$

Klammern Sie 5x in der ersten und 11 in der zweiten Gruppe aus.

$$5x\left(5x+9\right)+11\left(5x+9\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 5x+9 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(5x+9\right)\left(5x+11\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$25x^{2}+100x+99=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\times 25\times 99}}{2\times 25}$$

100 zum Quadrat.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\times 25\times 99}}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 25.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-100\times 99}}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie -100 mit 99.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-9900}}{2\times 25}$$

Addieren Sie 10000 zu -9900.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100}}{2\times 25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 100.

$$x=\frac{-100±10}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 25.

$$x=\frac{-100±10}{50}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-100±10}{50}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -100 zu 10.

$$x=-\frac{90}{50}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-90}{50} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{9}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-100±10}{50}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 10 von -100.

$$x=-\frac{110}{50}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-110}{50} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -\frac{9}{5} und für x_{2} -\frac{11}{5} ein.

$$25x^{2}+100x+99=25\left(x-\left(-\frac{9}{5}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{11}{5}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$25x^{2}+100x+99=25\left(x+\frac{9}{5}\right)\left(x+\frac{11}{5}\right)$$

Addieren Sie \frac{9}{5} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$25x^{2}+100x+99=25\times \frac{5x+9}{5}\left(x+\frac{11}{5}\right)$$

Addieren Sie \frac{11}{5} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$25x^{2}+100x+99=25\times \frac{5x+9}{5}\times \frac{5x+11}{5}$$

Multiplizieren Sie \frac{5x+9}{5} mit \frac{5x+11}{5}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$25x^{2}+100x+99=25\times \frac{\left(5x+9\right)\left(5x+11\right)}{5\times 5}$$

Multiplizieren Sie 5 mit 5.

$$25x^{2}+100x+99=25\times \frac{\left(5x+9\right)\left(5x+11\right)}{25}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 25 in 25 und 25 aufheben.

$$25x^{2}+100x+99=\left(5x+9\right)\left(5x+11\right)$$

Auswerten

$$\left(5x+9\right)\left(5x+11\right)$$