f(x)=2x^4+11x^3+15x^2-8x-20 lösen

$$f ( x ) = 2 x ^ { 4 } + 11 x ^ { 3 } + 15 x ^ { 2 } - 8 x - 20$$

Faktorisieren

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$

Lösungsschritte

Laut dem Satz über rationale Nullstellen (Rational Root Theorem) haben alle rationalen Nullstellen eines Polynoms die Form \frac{p}{q}, wobei der konstante Ausdruck -20 durch p dividiert wird und der Leitkoeffizient 2 durch q. Eine solche Wurzel ist -\frac{5}{2}. Faktorisieren Sie das Polynom, indem Sie es durch 2x+5 teilen.

$$\left(2x+5\right)\left(x^{3}+3x^{2}-4\right)$$

Betrachten Sie x^{3}+3x^{2}-4. Laut dem Satz über rationale Nullstellen (Rational Root Theorem) haben alle rationalen Nullstellen eines Polynoms die Form \frac{p}{q}, wobei der konstante Ausdruck -4 durch p dividiert wird und der Leitkoeffizient 1 durch q. Eine solche Wurzel ist -2. Faktorisieren Sie das Polynom, indem Sie es durch x+2 teilen.

$$\left(x+2\right)\left(x^{2}+x-2\right)$$

Betrachten Sie x^{2}+x-2. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als x^{2}+ax+bx-2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Das einzige derartige Paar ist die Lösung des Systems.

$$a=-1 b=2$$

x^{2}+x-2 als \left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-1\right)\left(x+2\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$

Auswerten

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$