f(x)=2x^2+3x-5 lösen

$$f ( x ) = 2 x ^ { 2 } + 3 x - 5$$

Faktorisieren

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 2x^{2}+ax+bx-5 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=3 ab=2\left(-5\right)=-10$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -10 ergeben.

$$-1,10 -2,5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 3 ergibt.

$$a=-2 b=5$$

2x^{2}+3x-5 als \left(2x^{2}-2x\right)+\left(5x-5\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}-2x\right)+\left(5x-5\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(x-1\right)+5\left(x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$2x^{2}+3x-5=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+40}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 9 zu 40.

$$x=\frac{-3±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 49.

$$x=\frac{-3±7}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{-3±7}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±7}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -3 zu 7.

$$x=\frac{4}{4}$$

Dividieren Sie 4 durch 4.

$$x=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±7}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 7 von -3.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-10}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 1 und für x_{2} -\frac{5}{2} ein.

$$2x^{2}+3x-5=2\left(x-1\right)\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$2x^{2}+3x-5=2\left(x-1\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

Addieren Sie \frac{5}{2} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$2x^{2}+3x-5=2\left(x-1\right)\times \frac{2x+5}{2}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 2 in 2 und 2 aufheben.

$$2x^{2}+3x-5=\left(x-1\right)\left(2x+5\right)$$

Auswerten

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)$$