f(x)=-20x^2+23x-6? lösen

$$f ( x ) = - 20 x ^ { 2 } + 23 x - 6 ?$$

Faktorisieren

$$\left(2-5x\right)\left(4x-3\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als -20x^{2}+ax+bx-6 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=23 ab=-20\left(-6\right)=120$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 120 ergeben.

$$1,120 2,60 3,40 4,30 5,24 6,20 8,15 10,12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+120=121 2+60=62 3+40=43 4+30=34 5+24=29 6+20=26 8+15=23 10+12=22$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 23 ergibt.

$$a=15 b=8$$

-20x^{2}+23x-6 als \left(-20x^{2}+15x\right)+\left(8x-6\right) umschreiben.

$$\left(-20x^{2}+15x\right)+\left(8x-6\right)$$

Klammern Sie -5x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$-5x\left(4x-3\right)+2\left(4x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 4x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(4x-3\right)\left(-5x+2\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$-20x^{2}+23x-6=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\left(-20\right)\left(-6\right)}}{2\left(-20\right)}$$

23 zum Quadrat.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\left(-20\right)\left(-6\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -20.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529+80\left(-6\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Multiplizieren Sie 80 mit -6.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-480}}{2\left(-20\right)}$$

Addieren Sie 529 zu -480.

$$x=\frac{-23±\sqrt{49}}{2\left(-20\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 49.

$$x=\frac{-23±7}{2\left(-20\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -20.

$$x=\frac{-23±7}{-40}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-23±7}{-40}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -23 zu 7.

$$x=-\frac{16}{-40}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-16}{-40} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{2}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-23±7}{-40}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 7 von -23.

$$x=-\frac{30}{-40}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-30}{-40} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{3}{4}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{2}{5} und für x_{2} \frac{3}{4} ein.

$$-20x^{2}+23x-6=-20\left(x-\frac{2}{5}\right)\left(x-\frac{3}{4}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{2}{5} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$-20x^{2}+23x-6=-20\times \frac{-5x+2}{-5}\left(x-\frac{3}{4}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{3}{4} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$-20x^{2}+23x-6=-20\times \frac{-5x+2}{-5}\times \frac{-4x+3}{-4}$$

Multiplizieren Sie \frac{-5x+2}{-5} mit \frac{-4x+3}{-4}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$-20x^{2}+23x-6=-20\times \frac{\left(-5x+2\right)\left(-4x+3\right)}{-5\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie -5 mit -4.

$$-20x^{2}+23x-6=-20\times \frac{\left(-5x+2\right)\left(-4x+3\right)}{20}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 20 in -20 und 20 aufheben.

$$-20x^{2}+23x-6=-\left(-5x+2\right)\left(-4x+3\right)$$

Auswerten

$$\left(2-5x\right)\left(4x-3\right)$$