f(x)=siny lösen

$$f ( x ) = \sin y$$

W.r.t. y differenzieren

$$\cos(y)$$

Schritte unter Verwendung der Definition einer Ableitung

Für eine Funktion f\left(x\right) ist die Ableitung der Grenzwert von \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}, mit h gegen 0, wenn dieser Grenzwert existiert.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(\sin(y))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y+h)-\sin(y)}{h}\right)$$

Verwenden Sie die Summenformel Sinus.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y+h)-\sin(y)}{h}$$

Klammern Sie \sin(y) aus.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(y)\sin(h)}{h}$$

Schreiben Sie den Grenzwert um.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(y)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(y)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Verwenden Sie beim Berechnen von Grenzwerten die Tatsache, dass y eine Konstante ist, da h gegen 0 geht.

$$\sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Der Grenzwert \lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y} ist 1.

$$\sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y)$$

Zum Bestimmen des Grenzwerts \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h} multiplizieren Sie zunächst den Zähler und Nenner mit \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Multiplizieren Sie \cos(h)+1 mit \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Verwenden Sie den trigonometrischen Pythagoras.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Schreiben Sie den Grenzwert um.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Der Grenzwert \lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y} ist 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Nutzen Sie die Tatsache, dass \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} bei 0 fortlaufend ist.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Setzen Sie den Wert 0 in den Ausdruck \sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y) ein.

$$\cos(y)$$

Auswerten

$$\sin(y)$$