f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^3+2t^2+1)dt lösen

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 3 } + 2 t ^ { 2 } + 1 ) d t$$

Auswerten

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+x$$

Lösungsschritte

Werten Sie das bestimmte Integral zunächst aus.

$$\int t^{3}+2t^{2}+1\mathrm{d}t$$

Summen-Ausdruck nach Ausdruck integrieren.

$$\int t^{3}\mathrm{d}t+\int 2t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

Klammern Sie die Konstanten in jedem Ausdruck aus.

$$\int t^{3}\mathrm{d}t+2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

Wenn \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} für k\neq -1, ersetzen Sie \int t^{3}\mathrm{d}t durch \frac{t^{4}}{4}.

$$\frac{t^{4}}{4}+2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

Wenn \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} für k\neq -1, ersetzen Sie \int t^{2}\mathrm{d}t durch \frac{t^{3}}{3}. Multiplizieren Sie 2 mit \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{4}}{4}+\frac{2t^{3}}{3}+\int 1\mathrm{d}t$$

Suchen Sie die Integral 1 mithilfe der Tabelle der allgemeinen von integralen Regel \int a\mathrm{d}t=at.

$$\frac{t^{4}}{4}+\frac{2t^{3}}{3}+t$$

Das bestimmte Integral ist der Wert des unbestimmten Integrals des Ausdrucks am oberen Grenzwert der Integralrechnung minus der Wert des unbestimmten Integrals am unteren Grenzwert der Integralrechnung.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2}{3}x^{3}+x-\left(\frac{0^{4}}{4}+\frac{2}{3}\times 0^{3}+0\right)$$

Vereinfachen.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+x$$

W.r.t. x differenzieren

$$x^{3}+2x^{2}+1$$