f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^2-t)dt lösen

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 2 } - t ) d t$$

Auswerten

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

Lösungsschritte

Werten Sie das bestimmte Integral zunächst aus.

$$\int t^{2}-t\mathrm{d}t$$

Summen-Ausdruck nach Ausdruck integrieren.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t+\int -t\mathrm{d}t$$

Klammern Sie die Konstanten in jedem Ausdruck aus.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t-\int t\mathrm{d}t$$

Da \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} für k\neq -1, ersetzen Sie \int t^{2}\mathrm{d}t durch \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\int t\mathrm{d}t$$

Da \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} für k\neq -1, ersetzen Sie \int t\mathrm{d}t durch \frac{t^{2}}{2}. Multiplizieren Sie -1 mit \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}$$

Das bestimmte Integral ist der Wert des unbestimmten Integrals des Ausdrucks am oberen Grenzwert der Integralrechnung minus der Wert des unbestimmten Integrals am unteren Grenzwert der Integralrechnung.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-\left(\frac{0^{3}}{3}-\frac{0^{2}}{2}\right)$$

Vereinfachen.

$$-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

W.r.t. x differenzieren

$$x\left(x-1\right)$$