f^2-3f=-5 lösen

$$f ^ { 2 } - 3 f = - 5$$

Nach f auflösen

$$f=\frac{3+\sqrt{11}i}{2}\approx 1,5+1,658312395i$$

$$f=\frac{-\sqrt{11}i+3}{2}\approx 1,5-1,658312395i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$f^{2}-3f=-5$$

Addieren Sie 5 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$f^{2}-3f-\left(-5\right)=-5-\left(-5\right)$$

Die Subtraktion von -5 von sich selbst ergibt 0.

$$f^{2}-3f-\left(-5\right)=0$$

Subtrahieren Sie -5 von 0.

$$f^{2}-3f+5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -3 und c durch 5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$f=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5}}{2}$$

-3 zum Quadrat.

$$f=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$f=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20}}{2}$$

Addieren Sie 9 zu -20.

$$f=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-11}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -11.

$$f=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{11}i}{2}$$

Das Gegenteil von -3 ist 3.

$$f=\frac{3±\sqrt{11}i}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung f=\frac{3±\sqrt{11}i}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 3 zu i\sqrt{11}.

$$f=\frac{3+\sqrt{11}i}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung f=\frac{3±\sqrt{11}i}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{11} von 3.

$$f=\frac{-\sqrt{11}i+3}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$f=\frac{3+\sqrt{11}i}{2} f=\frac{-\sqrt{11}i+3}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$f^{2}-3f=-5$$

Dividieren Sie -3, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$f^{2}-3f+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-5+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$f^{2}-3f+\frac{9}{4}=-5+\frac{9}{4}$$

Addieren Sie -5 zu \frac{9}{4}.

$$f^{2}-3f+\frac{9}{4}=-\frac{11}{4}$$

Faktor f^{2}-3f+\frac{9}{4}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(f-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(f-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{4}}$$

Vereinfachen.

$$f-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{11}i}{2} f-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{11}i}{2}$$

Addieren Sie \frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$f=\frac{3+\sqrt{11}i}{2} f=\frac{-\sqrt{11}i+3}{2}$$