a^5-6a^4+16a^3-32a^2+48a-32 lösen

$$a ^ { 5 } - 6 a ^ { 4 } + 16 a ^ { 3 } - 32 a ^ { 2 } + 48 a - 32$$

Faktorisieren

$$\left(a^{2}+4\right)\left(a-2\right)^{3}$$

Lösungsschritte

Um den Ausdruck zu faktorisieren, lösen Sie die Gleichung so auf, dass sie gleich 0 ist.

$$a^{5}-6a^{4}+16a^{3}-32a^{2}+48a-32=0$$

Laut dem Satz über rationale Nullstellen (Rational Root Theorem) haben alle rationalen Nullstellen eines Polynoms die Form \frac{p}{q}, wobei der konstante Ausdruck -32 durch p dividiert wird und der Leitkoeffizient 1 durch q. Listen Sie alle Kandidaten \frac{p}{q} auf.

$$±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

Finden Sie eine solche Wurzel, indem Sie alle ganzzahligen Werte ausprobieren, beginnend mit dem gemäß dem absoluten Wert kleinsten. Wenn keine ganzzahligen Wurzeln gefunden werden, probieren Sie Brüche aus.

$$a=2$$

Bei Faktorisieren Lehrsatz ist a-k ein Faktor des Polynoms für jede Stamm k. Dividieren Sie a^{5}-6a^{4}+16a^{3}-32a^{2}+48a-32 durch a-2, um a^{4}-4a^{3}+8a^{2}-16a+16 zu erhalten. Um das Ergebnis zu faktorisieren, lösen Sie die Gleichung so auf, dass sie gleich 0 ist.

$$a^{4}-4a^{3}+8a^{2}-16a+16=0$$

Laut dem Satz über rationale Nullstellen (Rational Root Theorem) haben alle rationalen Nullstellen eines Polynoms die Form \frac{p}{q}, wobei der konstante Ausdruck 16 durch p dividiert wird und der Leitkoeffizient 1 durch q. Listen Sie alle Kandidaten \frac{p}{q} auf.

$$±16,±8,±4,±2,±1$$

Finden Sie eine solche Wurzel, indem Sie alle ganzzahligen Werte ausprobieren, beginnend mit dem gemäß dem absoluten Wert kleinsten. Wenn keine ganzzahligen Wurzeln gefunden werden, probieren Sie Brüche aus.

$$a=2$$

Bei Faktorisieren Lehrsatz ist a-k ein Faktor des Polynoms für jede Stamm k. Dividieren Sie a^{4}-4a^{3}+8a^{2}-16a+16 durch a-2, um a^{3}-2a^{2}+4a-8 zu erhalten. Um das Ergebnis zu faktorisieren, lösen Sie die Gleichung so auf, dass sie gleich 0 ist.

$$a^{3}-2a^{2}+4a-8=0$$

Laut dem Satz über rationale Nullstellen (Rational Root Theorem) haben alle rationalen Nullstellen eines Polynoms die Form \frac{p}{q}, wobei der konstante Ausdruck -8 durch p dividiert wird und der Leitkoeffizient 1 durch q. Listen Sie alle Kandidaten \frac{p}{q} auf.

$$±8,±4,±2,±1$$

Finden Sie eine solche Wurzel, indem Sie alle ganzzahligen Werte ausprobieren, beginnend mit dem gemäß dem absoluten Wert kleinsten. Wenn keine ganzzahligen Wurzeln gefunden werden, probieren Sie Brüche aus.

$$a=2$$

Bei Faktorisieren Lehrsatz ist a-k ein Faktor des Polynoms für jede Stamm k. Dividieren Sie a^{3}-2a^{2}+4a-8 durch a-2, um a^{2}+4 zu erhalten. Um das Ergebnis zu faktorisieren, lösen Sie die Gleichung so auf, dass sie gleich 0 ist.

$$a^{2}+4=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 0 und c durch 4.

$$a=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Berechnungen ausführen.

$$a=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

Das Polynom a^{2}+4 ist nicht faktorisiert, weil es keine rationalen Nullstellen besitzt.

$$a^{2}+4$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck mit den erhaltenen Wurzeln um.

$$\left(a^{2}+4\right)\left(a-2\right)^{3}$$

Auswerten

$$\left(a^{2}+4\right)\left(a-2\right)^{3}$$