a^4-20a^2+64 lösen

$$a ^ { 4 } - 20 a ^ { 2 } + 64$$

Faktorisieren

$$\left(a-4\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)$$

Lösungsschritte

Um den Ausdruck zu faktorisieren, lösen Sie die Gleichung so auf, dass sie gleich 0 ist.

$$a^{4}-20a^{2}+64=0$$

Laut dem Satz über rationale Nullstellen (Rational Root Theorem) haben alle rationalen Nullstellen eines Polynoms die Form \frac{p}{q}, wobei der konstante Ausdruck 64 durch p dividiert wird und der Leitkoeffizient 1 durch q. Listen Sie alle Kandidaten \frac{p}{q} auf.

$$±64,±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

Finden Sie eine solche Wurzel, indem Sie alle ganzzahligen Werte ausprobieren, beginnend mit dem gemäß dem absoluten Wert kleinsten. Wenn keine ganzzahligen Wurzeln gefunden werden, probieren Sie Brüche aus.

$$a=2$$

Laut dem Faktorsatz ist a-k ein Faktor des Polynoms für jede Wurzel k. Dividieren Sie a^{4}-20a^{2}+64 durch a-2, um a^{3}+2a^{2}-16a-32 zu erhalten. Um das Ergebnis zu faktorisieren, lösen Sie die Gleichung so auf, dass sie gleich 0 ist.

$$a^{3}+2a^{2}-16a-32=0$$

Laut dem Satz über rationale Nullstellen (Rational Root Theorem) haben alle rationalen Nullstellen eines Polynoms die Form \frac{p}{q}, wobei der konstante Ausdruck -32 durch p dividiert wird und der Leitkoeffizient 1 durch q. Listen Sie alle Kandidaten \frac{p}{q} auf.

$$±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

Finden Sie eine solche Wurzel, indem Sie alle ganzzahligen Werte ausprobieren, beginnend mit dem gemäß dem absoluten Wert kleinsten. Wenn keine ganzzahligen Wurzeln gefunden werden, probieren Sie Brüche aus.

$$a=-2$$

Laut dem Faktorsatz ist a-k ein Faktor des Polynoms für jede Wurzel k. Dividieren Sie a^{3}+2a^{2}-16a-32 durch a+2, um a^{2}-16 zu erhalten. Um das Ergebnis zu faktorisieren, lösen Sie die Gleichung so auf, dass sie gleich 0 ist.

$$a^{2}-16=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 0 und c durch -16.

$$a=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-16\right)}}{2}$$

Berechnungen ausführen.

$$a=\frac{0±8}{2}$$

Lösen Sie die Gleichung a^{2}-16=0, wenn ± Plus ist und wenn ± minus ist.

$$a=-4 a=4$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck mit den erhaltenen Wurzeln um.

$$\left(a-4\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)$$

Auswerten

$$a^{4}-20a^{2}+64$$