a^2-68a+225leq0 lösen

$$a ^ { 2 } - 68 a + 225 \leq 0$$

Für a lösen

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Um die Ungleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite. Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$a^{2}-68a+225=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -68 und c durch 225.

$$a=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{\left(-68\right)^{2}-4\times 1\times 225}}{2}$$

Berechnungen ausführen.

$$a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2}$$

Lösen Sie die Gleichung a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2}, wenn ± Plus ist und wenn ± minus ist.

$$a=7\sqrt{19}+34 a=34-7\sqrt{19}$$

Die Ungleichung umschreiben, indem Sie die erhaltenen Lösungen verwenden.

$$\left(a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\right)\left(a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\right)\leq 0$$

Damit das Produkt ≤0 wird, muss einer der Werte a-\left(7\sqrt{19}+34\right) und a-\left(34-7\sqrt{19}\right) ≥0 sein, und die andere muss ≤0 sein. Betrachten Sie den Fall, wenn a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 und a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0.

$$a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0$$

Dies ist falsch für alle a.

$$a\in \emptyset$$

Betrachten Sie den Fall, wenn a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0 und a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0.

$$a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0 a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0$$

Die Lösung, die beide Ungleichungen erfüllt, lautet a\in \left[34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\right].

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

Die endgültige Lösung ist die Vereinigung der erhaltenen Lösungen.

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$