M(x)=-25x^2+100x+8000 lösen

$$M ( x ) = - 25 x ^ { 2 } + 100 x + 8000$$

Faktorisieren

$$-25\left(x-20\right)\left(x+16\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 25 aus.

$$25\left(-x^{2}+4x+320\right)$$

Betrachten Sie -x^{2}+4x+320. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als -x^{2}+ax+bx+320 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=4 ab=-320=-320$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -320 ergeben.

$$-1,320 -2,160 -4,80 -5,64 -8,40 -10,32 -16,20$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+320=319 -2+160=158 -4+80=76 -5+64=59 -8+40=32 -10+32=22 -16+20=4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 4 ergibt.

$$a=20 b=-16$$

-x^{2}+4x+320 als \left(-x^{2}+20x\right)+\left(-16x+320\right) umschreiben.

$$\left(-x^{2}+20x\right)+\left(-16x+320\right)$$

Klammern Sie -x in der ersten und -16 in der zweiten Gruppe aus.

$$-x\left(x-20\right)-16\left(x-20\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-20 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-20\right)\left(-x-16\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$25\left(x-20\right)\left(-x-16\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$-25x^{2}+100x+8000=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-25\right)\times 8000}}{2\left(-25\right)}$$

100 zum Quadrat.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-25\right)\times 8000}}{2\left(-25\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -25.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+100\times 8000}}{2\left(-25\right)}$$

Multiplizieren Sie 100 mit 8000.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+800000}}{2\left(-25\right)}$$

Addieren Sie 10000 zu 800000.

$$x=\frac{-100±\sqrt{810000}}{2\left(-25\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 810000.

$$x=\frac{-100±900}{2\left(-25\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -25.

$$x=\frac{-100±900}{-50}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-100±900}{-50}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -100 zu 900.

$$x=\frac{800}{-50}$$

Dividieren Sie 800 durch -50.

$$x=-16$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-100±900}{-50}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 900 von -100.

$$x=-\frac{1000}{-50}$$

Dividieren Sie -1000 durch -50.

$$x=20$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -16 und für x_{2} 20 ein.

$$-25x^{2}+100x+8000=-25\left(x-\left(-16\right)\right)\left(x-20\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$-25x^{2}+100x+8000=-25\left(x+16\right)\left(x-20\right)$$

Auswerten

$$-25\left(x-20\right)\left(x+16\right)$$