99lambda^2+42lambda-7=0 lösen

$$99 \lambda ^ { 2 } + 42 \lambda - 7 = 0$$

Nach λ auflösen

$$\lambda =\frac{\sqrt{14}}{11}-\frac{7}{33}\approx 0,128029459$$

$$\lambda =-\frac{\sqrt{14}}{11}-\frac{7}{33}\approx -0,552271884$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$99\lambda ^{2}+42\lambda -7=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 99, b durch 42 und c durch -7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$\lambda =\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\times 99\left(-7\right)}}{2\times 99}$$

42 zum Quadrat.

$$\lambda =\frac{-42±\sqrt{1764-4\times 99\left(-7\right)}}{2\times 99}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 99.

$$\lambda =\frac{-42±\sqrt{1764-396\left(-7\right)}}{2\times 99}$$

Multiplizieren Sie -396 mit -7.

$$\lambda =\frac{-42±\sqrt{1764+2772}}{2\times 99}$$

Addieren Sie 1764 zu 2772.

$$\lambda =\frac{-42±\sqrt{4536}}{2\times 99}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 4536.

$$\lambda =\frac{-42±18\sqrt{14}}{2\times 99}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 99.

$$\lambda =\frac{-42±18\sqrt{14}}{198}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung \lambda =\frac{-42±18\sqrt{14}}{198}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -42 zu 18\sqrt{14}.

$$\lambda =\frac{18\sqrt{14}-42}{198}$$

Dividieren Sie -42+18\sqrt{14} durch 198.

$$\lambda =\frac{\sqrt{14}}{11}-\frac{7}{33}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung \lambda =\frac{-42±18\sqrt{14}}{198}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 18\sqrt{14} von -42.

$$\lambda =\frac{-18\sqrt{14}-42}{198}$$

Dividieren Sie -42-18\sqrt{14} durch 198.

$$\lambda =-\frac{\sqrt{14}}{11}-\frac{7}{33}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$\lambda =\frac{\sqrt{14}}{11}-\frac{7}{33} \lambda =-\frac{\sqrt{14}}{11}-\frac{7}{33}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$99\lambda ^{2}+42\lambda -7=0$$

Addieren Sie 7 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$99\lambda ^{2}+42\lambda -7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Die Subtraktion von -7 von sich selbst ergibt 0.

$$99\lambda ^{2}+42\lambda =-\left(-7\right)$$

Subtrahieren Sie -7 von 0.

$$99\lambda ^{2}+42\lambda =7$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 99.

$$\frac{99\lambda ^{2}+42\lambda }{99}=\frac{7}{99}$$

Division durch 99 macht die Multiplikation mit 99 rückgängig.

$$\lambda ^{2}+\frac{42}{99}\lambda =\frac{7}{99}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{42}{99} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$\lambda ^{2}+\frac{14}{33}\lambda =\frac{7}{99}$$

Dividieren Sie \frac{14}{33}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{7}{33} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{7}{33} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$\lambda ^{2}+\frac{14}{33}\lambda +\left(\frac{7}{33}\right)^{2}=\frac{7}{99}+\left(\frac{7}{33}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{7}{33}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$\lambda ^{2}+\frac{14}{33}\lambda +\frac{49}{1089}=\frac{7}{99}+\frac{49}{1089}$$

Addieren Sie \frac{7}{99} zu \frac{49}{1089}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$\lambda ^{2}+\frac{14}{33}\lambda +\frac{49}{1089}=\frac{14}{121}$$

Faktor \lambda ^{2}+\frac{14}{33}\lambda +\frac{49}{1089}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(\lambda +\frac{7}{33}\right)^{2}=\frac{14}{121}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(\lambda +\frac{7}{33}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{14}{121}}$$

Vereinfachen.

$$\lambda +\frac{7}{33}=\frac{\sqrt{14}}{11} \lambda +\frac{7}{33}=-\frac{\sqrt{14}}{11}$$

\frac{7}{33} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$\lambda =\frac{\sqrt{14}}{11}-\frac{7}{33} \lambda =-\frac{\sqrt{14}}{11}-\frac{7}{33}$$