90m^2-137m-45 lösen

$$90 m ^ { 2 } - 137 m - 45$$

Faktorisieren

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 90m^{2}+am+bm-45 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-137 ab=90\left(-45\right)=-4050$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -4050 ergeben.

$$1,-4050 2,-2025 3,-1350 5,-810 6,-675 9,-450 10,-405 15,-270 18,-225 25,-162 27,-150 30,-135 45,-90 50,-81 54,-75$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-4050=-4049 2-2025=-2023 3-1350=-1347 5-810=-805 6-675=-669 9-450=-441 10-405=-395 15-270=-255 18-225=-207 25-162=-137 27-150=-123 30-135=-105 45-90=-45 50-81=-31 54-75=-21$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -137 ergibt.

$$a=-162 b=25$$

90m^{2}-137m-45 als \left(90m^{2}-162m\right)+\left(25m-45\right) umschreiben.

$$\left(90m^{2}-162m\right)+\left(25m-45\right)$$

Klammern Sie 18m in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$18m\left(5m-9\right)+5\left(5m-9\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 5m-9 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$90m^{2}-137m-45=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{\left(-137\right)^{2}-4\times 90\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

-137 zum Quadrat.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769-4\times 90\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 90.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769-360\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

Multiplizieren Sie -360 mit -45.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769+16200}}{2\times 90}$$

Addieren Sie 18769 zu 16200.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{34969}}{2\times 90}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 34969.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±187}{2\times 90}$$

Das Gegenteil von -137 ist 137.

$$m=\frac{137±187}{2\times 90}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 90.

$$m=\frac{137±187}{180}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung m=\frac{137±187}{180}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 137 zu 187.

$$m=\frac{324}{180}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{324}{180} um den niedrigsten Term, indem Sie 36 extrahieren und aufheben.

$$m=\frac{9}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung m=\frac{137±187}{180}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 187 von 137.

$$m=-\frac{50}{180}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-50}{180} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$m=-\frac{5}{18}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{9}{5} und für x_{2} -\frac{5}{18} ein.

$$90m^{2}-137m-45=90\left(m-\frac{9}{5}\right)\left(m-\left(-\frac{5}{18}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$90m^{2}-137m-45=90\left(m-\frac{9}{5}\right)\left(m+\frac{5}{18}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{9}{5} von m, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{5m-9}{5}\left(m+\frac{5}{18}\right)$$

Addieren Sie \frac{5}{18} zu m, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{5m-9}{5}\times \frac{18m+5}{18}$$

Multiplizieren Sie \frac{5m-9}{5} mit \frac{18m+5}{18}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)}{5\times 18}$$

Multiplizieren Sie 5 mit 18.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)}{90}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 90 in 90 und 90 aufheben.

$$90m^{2}-137m-45=\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

Auswerten

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$