9y^2-12y+4=y^2 lösen

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 4 = y ^ { 2 }$$

Nach y auflösen

$$y=\frac{1}{2}=0,5$$

$$y=1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie y^{2} von beiden Seiten.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

Kombinieren Sie 9y^{2} und -y^{2}, um 8y^{2} zu erhalten.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$2y^{2}-3y+1=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 2y^{2}+ay+by+1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-3 ab=2\times 1=2$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Das einzige derartige Paar ist die Lösung des Systems.

$$a=-2 b=-1$$

2y^{2}-3y+1 als \left(2y^{2}-2y\right)+\left(-y+1\right) umschreiben.

$$\left(2y^{2}-2y\right)+\left(-y+1\right)$$

Klammern Sie 2y in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$2y\left(y-1\right)-\left(y-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term y-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(y-1\right)\left(2y-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie y-1=0 und 2y-1=0.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Subtrahieren Sie y^{2} von beiden Seiten.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

Kombinieren Sie 9y^{2} und -y^{2}, um 8y^{2} zu erhalten.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 8, b durch -12 und c durch 4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 8\times 4}}{2\times 8}$$

-12 zum Quadrat.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 8\times 4}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 8.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-32\times 4}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -32 mit 4.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-128}}{2\times 8}$$

Addieren Sie 144 zu -128.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{16}}{2\times 8}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 16.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±4}{2\times 8}$$

Das Gegenteil von -12 ist 12.

$$y=\frac{12±4}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 8.

$$y=\frac{12±4}{16}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{12±4}{16}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 12 zu 4.

$$y=\frac{16}{16}$$

Dividieren Sie 16 durch 16.

$$y=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{12±4}{16}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4 von 12.

$$y=\frac{8}{16}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{8}{16} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$y=\frac{1}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Subtrahieren Sie y^{2} von beiden Seiten.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

Kombinieren Sie 9y^{2} und -y^{2}, um 8y^{2} zu erhalten.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

Subtrahieren Sie 4 von beiden Seiten. Jede Subtraktion von null ergibt ihre Negation.

$$8y^{2}-12y=-4$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 8.

$$\frac{8y^{2}-12y}{8}=-\frac{4}{8}$$

Division durch 8 macht die Multiplikation mit 8 rückgängig.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{8}\right)y=-\frac{4}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-12}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y=-\frac{4}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-4}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y=-\frac{1}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{3}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{9}{16}$$

Addieren Sie -\frac{1}{2} zu \frac{9}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}=\frac{1}{16}$$

Faktor y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(y-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Vereinfachen.

$$y-\frac{3}{4}=\frac{1}{4} y-\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}$$

Addieren Sie \frac{3}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$