9y^2-12y+2=0 lösen

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 2 = 0$$

Nach y auflösen

$$y = \frac{\sqrt{2} + 2}{3} \approx 1,138071187$$

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}\approx 0,195262146$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 9, b durch -12 und c durch 2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

-12 zum Quadrat.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 2}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -36 mit 2.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-72}}{2\times 9}$$

Addieren Sie 144 zu -72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{72}}{2\times 9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Das Gegenteil von -12 ist 12.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 9.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 12 zu 6\sqrt{2}.

$$y=\frac{6\sqrt{2}+12}{18}$$

Dividieren Sie 12+6\sqrt{2} durch 18.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 6\sqrt{2} von 12.

$$y=\frac{12-6\sqrt{2}}{18}$$

Dividieren Sie 12-6\sqrt{2} durch 18.

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

2 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$9y^{2}-12y+2-2=-2$$

Die Subtraktion von 2 von sich selbst ergibt 0.

$$9y^{2}-12y=-2$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 9.

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{2}{9}$$

Division durch 9 macht die Multiplikation mit 9 rückgängig.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{2}{9}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-12}{9} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{9}$$

Dividieren Sie -\frac{4}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{2}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{2}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{2}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-2+4}{9}$$

Addieren Sie -\frac{2}{9} zu \frac{4}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$$

Faktor y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

Vereinfachen.

$$y-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} y-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

Addieren Sie \frac{2}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$