9x^2-5x-2=0 lösen

$$9 x ^ { 2 } - 5 x - 2 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{97}+5}{18}\approx 0,824936545$$

$$x=\frac{5-\sqrt{97}}{18}\approx -0,269380989$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$9x^{2}-5x-2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 9, b durch -5 und c durch -2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 9\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

-5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 9\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-36\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -36 mit -2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+72}}{2\times 9}$$

Addieren Sie 25 zu 72.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{97}}{2\times 9}$$

Das Gegenteil von -5 ist 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{97}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 9.

$$x=\frac{5±\sqrt{97}}{18}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±\sqrt{97}}{18}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 5 zu \sqrt{97}.

$$x=\frac{\sqrt{97}+5}{18}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±\sqrt{97}}{18}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{97} von 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{97}}{18}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{97}+5}{18} x=\frac{5-\sqrt{97}}{18}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$9x^{2}-5x-2=0$$

Addieren Sie 2 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$9x^{2}-5x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Die Subtraktion von -2 von sich selbst ergibt 0.

$$9x^{2}-5x=-\left(-2\right)$$

Subtrahieren Sie -2 von 0.

$$9x^{2}-5x=2$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 9.

$$\frac{9x^{2}-5x}{9}=\frac{2}{9}$$

Division durch 9 macht die Multiplikation mit 9 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x=\frac{2}{9}$$

Dividieren Sie -\frac{5}{9}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{18} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{18} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x+\left(-\frac{5}{18}\right)^{2}=\frac{2}{9}+\left(-\frac{5}{18}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{18}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=\frac{2}{9}+\frac{25}{324}$$

Addieren Sie \frac{2}{9} zu \frac{25}{324}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=\frac{97}{324}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{18}\right)^{2}=\frac{97}{324}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{324}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{18}=\frac{\sqrt{97}}{18} x-\frac{5}{18}=-\frac{\sqrt{97}}{18}$$

Addieren Sie \frac{5}{18} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{97}+5}{18} x=\frac{5-\sqrt{97}}{18}$$