9x^2-43x+220=0 lösen

$$9 x ^ { 2 } - 43 x + 220 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{43+\sqrt{6071}i}{18}\approx 2,388888889+4,328701228i$$

$$x=\frac{-\sqrt{6071}i+43}{18}\approx 2,388888889-4,328701228i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$9x^{2}-43x+220=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 9, b durch -43 und c durch 220, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{\left(-43\right)^{2}-4\times 9\times 220}}{2\times 9}$$

-43 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-4\times 9\times 220}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 9.

$$x=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-36\times 220}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -36 mit 220.

$$x=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-7920}}{2\times 9}$$

Addieren Sie 1849 zu -7920.

$$x=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{-6071}}{2\times 9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -6071.

$$x=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{6071}i}{2\times 9}$$

Das Gegenteil von -43 ist 43.

$$x=\frac{43±\sqrt{6071}i}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 9.

$$x=\frac{43±\sqrt{6071}i}{18}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{43±\sqrt{6071}i}{18}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 43 zu i\sqrt{6071}.

$$x=\frac{43+\sqrt{6071}i}{18}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{43±\sqrt{6071}i}{18}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{6071} von 43.

$$x=\frac{-\sqrt{6071}i+43}{18}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{43+\sqrt{6071}i}{18} x=\frac{-\sqrt{6071}i+43}{18}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$9x^{2}-43x+220=0$$

220 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$9x^{2}-43x+220-220=-220$$

Die Subtraktion von 220 von sich selbst ergibt 0.

$$9x^{2}-43x=-220$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 9.

$$\frac{9x^{2}-43x}{9}=-\frac{220}{9}$$

Division durch 9 macht die Multiplikation mit 9 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{43}{9}x=-\frac{220}{9}$$

Dividieren Sie -\frac{43}{9}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{43}{18} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{43}{18} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{43}{9}x+\left(-\frac{43}{18}\right)^{2}=-\frac{220}{9}+\left(-\frac{43}{18}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{43}{18}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{43}{9}x+\frac{1849}{324}=-\frac{220}{9}+\frac{1849}{324}$$

Addieren Sie -\frac{220}{9} zu \frac{1849}{324}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{43}{9}x+\frac{1849}{324}=-\frac{6071}{324}$$

Faktor x^{2}-\frac{43}{9}x+\frac{1849}{324}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{43}{18}\right)^{2}=-\frac{6071}{324}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{43}{18}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{6071}{324}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{43}{18}=\frac{\sqrt{6071}i}{18} x-\frac{43}{18}=-\frac{\sqrt{6071}i}{18}$$

Addieren Sie \frac{43}{18} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{43+\sqrt{6071}i}{18} x=\frac{-\sqrt{6071}i+43}{18}$$