9x^2-15x+6 lösen

$$9 x ^ { 2 } - 15 x + 6$$

Faktorisieren

$$3\left(x-1\right)\left(3x-2\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 3 aus.

$$3\left(3x^{2}-5x+2\right)$$

Betrachten Sie 3x^{2}-5x+2. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 3x^{2}+ax+bx+2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-5 ab=3\times 2=6$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 6 ergeben.

$$-1,-6 -2,-3$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-6=-7 -2-3=-5$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -5 ergibt.

$$a=-3 b=-2$$

3x^{2}-5x+2 als \left(3x^{2}-3x\right)+\left(-2x+2\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(-2x+2\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und -2 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-1\right)\left(3x-2\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$3\left(x-1\right)\left(3x-2\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$9x^{2}-15x+6=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 9\times 6}}{2\times 9}$$

-15 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 9\times 6}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 9.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-36\times 6}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -36 mit 6.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2\times 9}$$

Addieren Sie 225 zu -216.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2\times 9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 9.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±3}{2\times 9}$$

Das Gegenteil von -15 ist 15.

$$x=\frac{15±3}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 9.

$$x=\frac{15±3}{18}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{15±3}{18}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 15 zu 3.

$$x=\frac{18}{18}$$

Dividieren Sie 18 durch 18.

$$x=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{15±3}{18}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 3 von 15.

$$x=\frac{12}{18}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{12}{18} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{2}{3}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 1 und für x_{2} \frac{2}{3} ein.

$$9x^{2}-15x+6=9\left(x-1\right)\left(x-\frac{2}{3}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{2}{3} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$9x^{2}-15x+6=9\left(x-1\right)\times \frac{3x-2}{3}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 3 in 9 und 3 aufheben.

$$9x^{2}-15x+6=3\left(x-1\right)\left(3x-2\right)$$

Auswerten

$$3\left(x-1\right)\left(3x-2\right)$$