9x^2-14x-14=0 lösen

$$9 x ^ { 2 } - 14 x - 14 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{5 \sqrt{7} + 7}{9} \approx 2.247639617$$

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}\approx -0.692084062$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$9x^{2}-14x-14=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 9, b durch -14 und c durch -14, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

-14 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-36\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -36 mit -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+504}}{2\times 9}$$

Addieren Sie 196 zu 504.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{700}}{2\times 9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 700.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

Das Gegenteil von -14 ist 14.

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 9.

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 14 zu 10\sqrt{7}.

$$x=\frac{10\sqrt{7}+14}{18}$$

Dividieren Sie 14+10\sqrt{7} durch 18.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 10\sqrt{7} von 14.

$$x=\frac{14-10\sqrt{7}}{18}$$

Dividieren Sie 14-10\sqrt{7} durch 18.

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$9x^{2}-14x-14=0$$

Addieren Sie 14 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$9x^{2}-14x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Die Subtraktion von -14 von sich selbst ergibt 0.

$$9x^{2}-14x=-\left(-14\right)$$

Subtrahieren Sie -14 von 0.

$$9x^{2}-14x=14$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 9.

$$\frac{9x^{2}-14x}{9}=\frac{14}{9}$$

Division durch 9 macht die Multiplikation mit 9 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x=\frac{14}{9}$$

Dividieren Sie -\frac{14}{9}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{9} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{9} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{14}{9}+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{9}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{14}{9}+\frac{49}{81}$$

Addieren Sie \frac{14}{9} zu \frac{49}{81}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{175}{81}$$

Faktor x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{175}{81}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{175}{81}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{7}{9}=\frac{5\sqrt{7}}{9} x-\frac{7}{9}=-\frac{5\sqrt{7}}{9}$$

Addieren Sie \frac{7}{9} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$