9x^2-12x-4=0 lösen

$$9 x ^ { 2 } - 12 x - 4 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{2 \sqrt{2} + 2}{3} \approx 1,609475708$$

$$x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}\approx -0,276142375$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$9x^{2}-12x-4=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 9, b durch -12 und c durch -4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

-12 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -36 mit -4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+144}}{2\times 9}$$

Addieren Sie 144 zu 144.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{288}}{2\times 9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 288.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±12\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Das Gegenteil von -12 ist 12.

$$x=\frac{12±12\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 9.

$$x=\frac{12±12\sqrt{2}}{18}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{12±12\sqrt{2}}{18}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 12 zu 12\sqrt{2}.

$$x=\frac{12\sqrt{2}+12}{18}$$

Dividieren Sie 12+12\sqrt{2} durch 18.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{12±12\sqrt{2}}{18}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 12\sqrt{2} von 12.

$$x=\frac{12-12\sqrt{2}}{18}$$

Dividieren Sie 12-12\sqrt{2} durch 18.

$$x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2}{3} x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$9x^{2}-12x-4=0$$

Addieren Sie 4 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$9x^{2}-12x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Die Subtraktion von -4 von sich selbst ergibt 0.

$$9x^{2}-12x=-\left(-4\right)$$

Subtrahieren Sie -4 von 0.

$$9x^{2}-12x=4$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 9.

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=\frac{4}{9}$$

Division durch 9 macht die Multiplikation mit 9 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=\frac{4}{9}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-12}{9} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{4}{9}$$

Dividieren Sie -\frac{4}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{2}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{2}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{2}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{4+4}{9}$$

Addieren Sie \frac{4}{9} zu \frac{4}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{8}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{8}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$$

Addieren Sie \frac{2}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2}{3} x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}$$