9x^2+6x+9=0 lösen

$$9 x ^ { 2 } + 6 x + 9 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3}\approx -0,333333333+0,942809042i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0,333333333-0,942809042i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$9x^{2}+6x+9=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 9, b durch 6 und c durch 9, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

6 zum Quadrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36\times 9}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -36 mit 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-324}}{2\times 9}$$

Addieren Sie 36 zu -324.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-288}}{2\times 9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -288.

$$x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 9.

$$x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -6 zu 12i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-6+12\sqrt{2}i}{18}$$

Dividieren Sie -6+12i\sqrt{2} durch 18.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 12i\sqrt{2} von -6.

$$x=\frac{-12\sqrt{2}i-6}{18}$$

Dividieren Sie -6-12i\sqrt{2} durch 18.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$9x^{2}+6x+9=0$$

9 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$9x^{2}+6x+9-9=-9$$

Die Subtraktion von 9 von sich selbst ergibt 0.

$$9x^{2}+6x=-9$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 9.

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=-\frac{9}{9}$$

Division durch 9 macht die Multiplikation mit 9 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=-\frac{9}{9}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{6}{9} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{9}{9}$$

Dividieren Sie -9 durch 9.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-1$$

Dividieren Sie \frac{2}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-1+\frac{1}{9}$$

Addieren Sie -1 zu \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{8}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{8}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{8}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{2}i}{3}$$

\frac{1}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$