9x^2+42x+49=0 lösen

$$9 x ^ { 2 } + 42 x + 49 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 9x^{2}+ax+bx+49 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=42 ab=9\times 49=441$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 441 ergeben.

$$1,441 3,147 7,63 9,49 21,21$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+441=442 3+147=150 7+63=70 9+49=58 21+21=42$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 42 ergibt.

$$a=21 b=21$$

9x^{2}+42x+49 als \left(9x^{2}+21x\right)+\left(21x+49\right) umschreiben.

$$\left(9x^{2}+21x\right)+\left(21x+49\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 7 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(3x+7\right)+7\left(3x+7\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x+7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x+7\right)\left(3x+7\right)$$

Umschreiben als binomisches Quadrat.

$$\left(3x+7\right)^{2}$$

Um eine Lösung für die Gleichung zu finden, lösen Sie 3x+7=0.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$9x^{2}+42x+49=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 9, b durch 42 und c durch 49, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\times 9\times 49}}{2\times 9}$$

42 zum Quadrat.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-4\times 9\times 49}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 9.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-36\times 49}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -36 mit 49.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-1764}}{2\times 9}$$

Addieren Sie 1764 zu -1764.

$$x=\frac{-42±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 0.

$$x=-\frac{42}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 9.

$$x=-\frac{42}{18}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-42}{18} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$9x^{2}+42x+49=0$$

49 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$9x^{2}+42x+49-49=-49$$

Die Subtraktion von 49 von sich selbst ergibt 0.

$$9x^{2}+42x=-49$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 9.

$$\frac{9x^{2}+42x}{9}=-\frac{49}{9}$$

Division durch 9 macht die Multiplikation mit 9 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{42}{9}x=-\frac{49}{9}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{42}{9} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=-\frac{49}{9}$$

Dividieren Sie \frac{14}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{7}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{7}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=-\frac{49}{9}+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{7}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{-49+49}{9}$$

Addieren Sie -\frac{49}{9} zu \frac{49}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=0$$

Faktor x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}=0$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{7}{3}=0 x+\frac{7}{3}=0$$

\frac{7}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-\frac{7}{3} x=-\frac{7}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst. Die Lösungen sind identisch.

$$x=-\frac{7}{3}$$