9x^2+39x+42= lösen

$$9 x ^ { 2 } + 39 x + 42 =$$

Faktorisieren

$$3\left(x+2\right)\left(3x+7\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 3 aus.

$$3\left(3x^{2}+13x+14\right)$$

Betrachten Sie 3x^{2}+13x+14. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 3x^{2}+ax+bx+14 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=13 ab=3\times 14=42$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 42 ergeben.

$$1,42 2,21 3,14 6,7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+42=43 2+21=23 3+14=17 6+7=13$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 13 ergibt.

$$a=6 b=7$$

3x^{2}+13x+14 als \left(3x^{2}+6x\right)+\left(7x+14\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}+6x\right)+\left(7x+14\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 7 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(x+2\right)+7\left(x+2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x+2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x+2\right)\left(3x+7\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$3\left(x+2\right)\left(3x+7\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$9x^{2}+39x+42=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-39±\sqrt{39^{2}-4\times 9\times 42}}{2\times 9}$$

39 zum Quadrat.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521-4\times 9\times 42}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 9.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521-36\times 42}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -36 mit 42.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521-1512}}{2\times 9}$$

Addieren Sie 1521 zu -1512.

$$x=\frac{-39±\sqrt{9}}{2\times 9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 9.

$$x=\frac{-39±3}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 9.

$$x=\frac{-39±3}{18}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-39±3}{18}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -39 zu 3.

$$x=-\frac{36}{18}$$

Dividieren Sie -36 durch 18.

$$x=-2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-39±3}{18}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 3 von -39.

$$x=-\frac{42}{18}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-42}{18} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -2 und für x_{2} -\frac{7}{3} ein.

$$9x^{2}+39x+42=9\left(x-\left(-2\right)\right)\left(x-\left(-\frac{7}{3}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$9x^{2}+39x+42=9\left(x+2\right)\left(x+\frac{7}{3}\right)$$

Addieren Sie \frac{7}{3} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$9x^{2}+39x+42=9\left(x+2\right)\times \frac{3x+7}{3}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 3 in 9 und 3 aufheben.

$$9x^{2}+39x+42=3\left(x+2\right)\left(3x+7\right)$$

Auswerten

$$3\left(x+2\right)\left(3x+7\right)$$