9p^2-8p-1 lösen

$$9 p ^ { 2 } - 8 p - 1$$

Faktorisieren

$$\left(p-1\right)\left(9p+1\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 9p^{2}+ap+bp-1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-8 ab=9\left(-1\right)=-9$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -9 ergeben.

$$1,-9 3,-3$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-9=-8 3-3=0$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -8 ergibt.

$$a=-9 b=1$$

9p^{2}-8p-1 als \left(9p^{2}-9p\right)+\left(p-1\right) umschreiben.

$$\left(9p^{2}-9p\right)+\left(p-1\right)$$

Klammern Sie 9p in 9p^{2}-9p aus.

$$9p\left(p-1\right)+p-1$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term p-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(p-1\right)\left(9p+1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$9p^{2}-8p-1=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 9\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

-8 zum Quadrat.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 9\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 9.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-36\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -36 mit -1.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+36}}{2\times 9}$$

Addieren Sie 64 zu 36.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{100}}{2\times 9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 100.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±10}{2\times 9}$$

Das Gegenteil von -8 ist 8.

$$p=\frac{8±10}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 9.

$$p=\frac{8±10}{18}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung p=\frac{8±10}{18}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 8 zu 10.

$$p=\frac{18}{18}$$

Dividieren Sie 18 durch 18.

$$p=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung p=\frac{8±10}{18}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 10 von 8.

$$p=-\frac{2}{18}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{18} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$p=-\frac{1}{9}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 1 und für x_{2} -\frac{1}{9} ein.

$$9p^{2}-8p-1=9\left(p-1\right)\left(p-\left(-\frac{1}{9}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$9p^{2}-8p-1=9\left(p-1\right)\left(p+\frac{1}{9}\right)$$

Addieren Sie \frac{1}{9} zu p, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$9p^{2}-8p-1=9\left(p-1\right)\times \frac{9p+1}{9}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 9 in 9 und 9 aufheben.

$$9p^{2}-8p-1=\left(p-1\right)\left(9p+1\right)$$

Auswerten

$$\left(p-1\right)\left(9p+1\right)$$