9p^2+59p+30 lösen

$$9 p ^ { 2 } + 59 p + 30$$

Faktorisieren

$$\left(p+6\right)\left(9p+5\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 9p^{2}+ap+bp+30 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=59 ab=9\times 30=270$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 270 ergeben.

$$1,270 2,135 3,90 5,54 6,45 9,30 10,27 15,18$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+270=271 2+135=137 3+90=93 5+54=59 6+45=51 9+30=39 10+27=37 15+18=33$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 59 ergibt.

$$a=5 b=54$$

9p^{2}+59p+30 als \left(9p^{2}+5p\right)+\left(54p+30\right) umschreiben.

$$\left(9p^{2}+5p\right)+\left(54p+30\right)$$

Klammern Sie p in der ersten und 6 in der zweiten Gruppe aus.

$$p\left(9p+5\right)+6\left(9p+5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 9p+5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(9p+5\right)\left(p+6\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$9p^{2}+59p+30=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$p=\frac{-59±\sqrt{59^{2}-4\times 9\times 30}}{2\times 9}$$

59 zum Quadrat.

$$p=\frac{-59±\sqrt{3481-4\times 9\times 30}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 9.

$$p=\frac{-59±\sqrt{3481-36\times 30}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -36 mit 30.

$$p=\frac{-59±\sqrt{3481-1080}}{2\times 9}$$

Addieren Sie 3481 zu -1080.

$$p=\frac{-59±\sqrt{2401}}{2\times 9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 2401.

$$p=\frac{-59±49}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 9.

$$p=\frac{-59±49}{18}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung p=\frac{-59±49}{18}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -59 zu 49.

$$p=-\frac{10}{18}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-10}{18} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$p=-\frac{5}{9}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung p=\frac{-59±49}{18}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 49 von -59.

$$p=-\frac{108}{18}$$

Dividieren Sie -108 durch 18.

$$p=-6$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -\frac{5}{9} und für x_{2} -6 ein.

$$9p^{2}+59p+30=9\left(p-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)\left(p-\left(-6\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$9p^{2}+59p+30=9\left(p+\frac{5}{9}\right)\left(p+6\right)$$

Addieren Sie \frac{5}{9} zu p, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$9p^{2}+59p+30=9\times \frac{9p+5}{9}\left(p+6\right)$$

Den größten gemeinsamen Faktor 9 in 9 und 9 aufheben.

$$9p^{2}+59p+30=\left(9p+5\right)\left(p+6\right)$$

Auswerten

$$\left(p+6\right)\left(9p+5\right)$$