9n^2-23n+20=3n^2 lösen

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

Nach n auflösen

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 3n^{2} von beiden Seiten.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Kombinieren Sie 9n^{2} und -3n^{2}, um 6n^{2} zu erhalten.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 6n^{2}+an+bn+20 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 120 ergeben.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -23 ergibt.

$$a=-15 b=-8$$

6n^{2}-23n+20 als \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right) umschreiben.

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

Klammern Sie 3n in der ersten und -4 in der zweiten Gruppe aus.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2n-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2n-5=0 und 3n-4=0.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Subtrahieren Sie 3n^{2} von beiden Seiten.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Kombinieren Sie 9n^{2} und -3n^{2}, um 6n^{2} zu erhalten.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 6, b durch -23 und c durch 20, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

-23 zum Quadrat.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -24 mit 20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

Addieren Sie 529 zu -480.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 49.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

Das Gegenteil von -23 ist 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{23±7}{12}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 23 zu 7.

$$n=\frac{30}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{30}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$n=\frac{5}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{23±7}{12}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 7 von 23.

$$n=\frac{16}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{16}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$n=\frac{4}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Subtrahieren Sie 3n^{2} von beiden Seiten.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Kombinieren Sie 9n^{2} und -3n^{2}, um 6n^{2} zu erhalten.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Subtrahieren Sie 20 von beiden Seiten. Jede Subtraktion von null ergibt ihre Negation.

$$6n^{2}-23n=-20$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 6.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

Division durch 6 macht die Multiplikation mit 6 rückgängig.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-20}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{23}{6}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{23}{12} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{23}{12} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{23}{12}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

Addieren Sie -\frac{10}{3} zu \frac{529}{144}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

Faktor n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Vereinfachen.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

Addieren Sie \frac{23}{12} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$