9a^2-10a+4=0 lösen

$$9 a ^ { 2 } - 10 a + 4 = 0$$

Nach a auflösen

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9}\approx 0,555555556+0,368513866i$$

$$a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}\approx 0,555555556-0,368513866i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$9a^{2}-10a+4=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 9, b durch -10 und c durch 4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

-10 zum Quadrat.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 9.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-36\times 4}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -36 mit 4.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-144}}{2\times 9}$$

Addieren Sie 100 zu -144.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-44}}{2\times 9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -44.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{11}i}{2\times 9}$$

Das Gegenteil von -10 ist 10.

$$a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 9.

$$a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{18}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{18}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 10 zu 2i\sqrt{11}.

$$a=\frac{10+2\sqrt{11}i}{18}$$

Dividieren Sie 10+2i\sqrt{11} durch 18.

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{18}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{11} von 10.

$$a=\frac{-2\sqrt{11}i+10}{18}$$

Dividieren Sie 10-2i\sqrt{11} durch 18.

$$a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9} a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$9a^{2}-10a+4=0$$

4 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$9a^{2}-10a+4-4=-4$$

Die Subtraktion von 4 von sich selbst ergibt 0.

$$9a^{2}-10a=-4$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 9.

$$\frac{9a^{2}-10a}{9}=-\frac{4}{9}$$

Division durch 9 macht die Multiplikation mit 9 rückgängig.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a=-\frac{4}{9}$$

Dividieren Sie -\frac{10}{9}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{9} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{9} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a+\left(-\frac{5}{9}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{5}{9}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{9}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a+\frac{25}{81}=-\frac{4}{9}+\frac{25}{81}$$

Addieren Sie -\frac{4}{9} zu \frac{25}{81}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a+\frac{25}{81}=-\frac{11}{81}$$

Faktor a^{2}-\frac{10}{9}a+\frac{25}{81}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(a-\frac{5}{9}\right)^{2}=-\frac{11}{81}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{9}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{81}}$$

Vereinfachen.

$$a-\frac{5}{9}=\frac{\sqrt{11}i}{9} a-\frac{5}{9}=-\frac{\sqrt{11}i}{9}$$

Addieren Sie \frac{5}{9} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9} a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}$$