9x^2-24x+16=0 lösen

$$9 { x }^{ 2 } -24x+16=0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 9x^{2}+ax+bx+16 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-24 ab=9\times 16=144$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 144 ergeben.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -24 ergibt.

$$a=-12 b=-12$$

9x^{2}-24x+16 als \left(9x^{2}-12x\right)+\left(-12x+16\right) umschreiben.

$$\left(9x^{2}-12x\right)+\left(-12x+16\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und -4 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(3x-4\right)-4\left(3x-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-4\right)\left(3x-4\right)$$

Umschreiben als binomisches Quadrat.

$$\left(3x-4\right)^{2}$$

Um eine Lösung für die Gleichung zu finden, lösen Sie 3x-4=0.

$$x=\frac{4}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$9x^{2}-24x+16=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 9, b durch -24 und c durch 16, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

-24 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 9.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-36\times 16}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -36 mit 16.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-576}}{2\times 9}$$

Addieren Sie 576 zu -576.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 0.

$$x=-\frac{-24}{2\times 9}$$

Das Gegenteil von -24 ist 24.

$$x=\frac{24}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 9.

$$x=\frac{24}{18}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{24}{18} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{4}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$9x^{2}-24x+16=0$$

16 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$9x^{2}-24x+16-16=-16$$

Die Subtraktion von 16 von sich selbst ergibt 0.

$$9x^{2}-24x=-16$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 9.

$$\frac{9x^{2}-24x}{9}=-\frac{16}{9}$$

Division durch 9 macht die Multiplikation mit 9 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{9}\right)x=-\frac{16}{9}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-24}{9} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=-\frac{16}{9}$$

Dividieren Sie -\frac{8}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{4}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{4}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{9}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{4}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{-16+16}{9}$$

Addieren Sie -\frac{16}{9} zu \frac{16}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=0$$

Faktor x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=0$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{4}{3}=0 x-\frac{4}{3}=0$$

Addieren Sie \frac{4}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{4}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst. Die Lösungen sind identisch.

$$x=\frac{4}{3}$$