9x^2-14x^+5=0 lösen

$$9 { x }^{ 2 } -14 { x }^{ } +5 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=1$$

$$x=\frac{5}{9}\approx 0,555555556$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Potenzieren Sie x mit 1, und erhalten Sie x.

$$9x^{2}-14x+5=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 9x^{2}+ax+bx+5 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-14 ab=9\times 5=45$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 45 ergeben.

$$-1,-45 -3,-15 -5,-9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-45=-46 -3-15=-18 -5-9=-14$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -14 ergibt.

$$a=-9 b=-5$$

9x^{2}-14x+5 als \left(9x^{2}-9x\right)+\left(-5x+5\right) umschreiben.

$$\left(9x^{2}-9x\right)+\left(-5x+5\right)$$

Klammern Sie 9x in der ersten und -5 in der zweiten Gruppe aus.

$$9x\left(x-1\right)-5\left(x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-1\right)\left(9x-5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-1=0 und 9x-5=0.

$$x=1 x=\frac{5}{9}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Potenzieren Sie x mit 1, und erhalten Sie x.

$$9x^{2}-14x+5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 9, b durch -14 und c durch 5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 9\times 5}}{2\times 9}$$

-14 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 9\times 5}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-36\times 5}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -36 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-180}}{2\times 9}$$

Addieren Sie 196 zu -180.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{16}}{2\times 9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 16.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±4}{2\times 9}$$

Das Gegenteil von -14 ist 14.

$$x=\frac{14±4}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 9.

$$x=\frac{14±4}{18}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±4}{18}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 14 zu 4.

$$x=\frac{18}{18}$$

Dividieren Sie 18 durch 18.

$$x=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±4}{18}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4 von 14.

$$x=\frac{10}{18}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{10}{18} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{5}{9}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=1 x=\frac{5}{9}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Potenzieren Sie x mit 1, und erhalten Sie x.

$$9x^{2}-14x+5=0$$

Subtrahieren Sie 5 von beiden Seiten. Jede Subtraktion von null ergibt ihre Negation.

$$9x^{2}-14x=-5$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 9.

$$\frac{9x^{2}-14x}{9}=-\frac{5}{9}$$

Division durch 9 macht die Multiplikation mit 9 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x=-\frac{5}{9}$$

Dividieren Sie -\frac{14}{9}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{9} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{9} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}=-\frac{5}{9}+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{9}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=-\frac{5}{9}+\frac{49}{81}$$

Addieren Sie -\frac{5}{9} zu \frac{49}{81}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{4}{81}$$

Faktor x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{4}{81}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{81}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{7}{9}=\frac{2}{9} x-\frac{7}{9}=-\frac{2}{9}$$

Addieren Sie \frac{7}{9} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=1 x=\frac{5}{9}$$