9x^2+6x+1=0 lösen

$$9 { x }^{ 2 } +6x+1=0$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 9x^{2}+ax+bx+1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=6 ab=9\times 1=9$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 9 ergeben.

$$1,9 3,3$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+9=10 3+3=6$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 6 ergibt.

$$a=3 b=3$$

9x^{2}+6x+1 als \left(9x^{2}+3x\right)+\left(3x+1\right) umschreiben.

$$\left(9x^{2}+3x\right)+\left(3x+1\right)$$

Klammern Sie 3x in 9x^{2}+3x aus.

$$3x\left(3x+1\right)+3x+1$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x+1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x+1\right)\left(3x+1\right)$$

Umschreiben als binomisches Quadrat.

$$\left(3x+1\right)^{2}$$

Um eine Lösung für die Gleichung zu finden, lösen Sie 3x+1=0.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$9x^{2}+6x+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 9, b durch 6 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9}}{2\times 9}$$

6 zum Quadrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{2\times 9}$$

Addieren Sie 36 zu -36.

$$x=\frac{-6±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 0.

$$x=-\frac{6}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 9.

$$x=-\frac{6}{18}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-6}{18} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$9x^{2}+6x+1=0$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$9x^{2}+6x+1-1=-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$9x^{2}+6x=-1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 9.

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=-\frac{1}{9}$$

Division durch 9 macht die Multiplikation mit 9 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=-\frac{1}{9}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{6}{9} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{9}$$

Dividieren Sie \frac{2}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{-1+1}{9}$$

Addieren Sie -\frac{1}{9} zu \frac{1}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=0$$

Faktor x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=0$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{3}=0 x+\frac{1}{3}=0$$

\frac{1}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{1}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst. Die Lösungen sind identisch.

$$x=-\frac{1}{3}$$