9*x^2-27*x-252=0 lösen

$$9 \cdot x ^ { 2 } - 27 \cdot x - 252 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-4$$

$$x=7$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 9.

$$x^{2}-3x-28=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-28 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -28 ergeben.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -3 ergibt.

$$a=-7 b=4$$

x^{2}-3x-28 als \left(x^{2}-7x\right)+\left(4x-28\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(4x-28\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-7\right)+4\left(x-7\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-7\right)\left(x+4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-7=0 und x+4=0.

$$x=7 x=-4$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$9x^{2}-27x-252=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 9, b durch -27 und c durch -252, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{\left(-27\right)^{2}-4\times 9\left(-252\right)}}{2\times 9}$$

-27 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-4\times 9\left(-252\right)}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 9.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-36\left(-252\right)}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -36 mit -252.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729+9072}}{2\times 9}$$

Addieren Sie 729 zu 9072.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{9801}}{2\times 9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 9801.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±99}{2\times 9}$$

Das Gegenteil von -27 ist 27.

$$x=\frac{27±99}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 9.

$$x=\frac{27±99}{18}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{27±99}{18}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 27 zu 99.

$$x=\frac{126}{18}$$

Dividieren Sie 126 durch 18.

$$x=7$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{27±99}{18}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 99 von 27.

$$x=-\frac{72}{18}$$

Dividieren Sie -72 durch 18.

$$x=-4$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=7 x=-4$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$9x^{2}-27x-252=0$$

Addieren Sie 252 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$9x^{2}-27x-252-\left(-252\right)=-\left(-252\right)$$

Die Subtraktion von -252 von sich selbst ergibt 0.

$$9x^{2}-27x=-\left(-252\right)$$

Subtrahieren Sie -252 von 0.

$$9x^{2}-27x=252$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 9.

$$\frac{9x^{2}-27x}{9}=\frac{252}{9}$$

Division durch 9 macht die Multiplikation mit 9 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{27}{9}\right)x=\frac{252}{9}$$

Dividieren Sie -27 durch 9.

$$x^{2}-3x=\frac{252}{9}$$

Dividieren Sie 252 durch 9.

$$x^{2}-3x=28$$

Dividieren Sie -3, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Addieren Sie 28 zu \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Addieren Sie \frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=7 x=-4$$