9:6x^2-x=15 lösen

$$9 : 6 x ^ { 2 } - x = 15$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{91} + 1}{3} \approx 3,513130671$$

$$x=\frac{1-\sqrt{91}}{3}\approx -2,846464005$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$\frac{3}{2}x^{2}-x=15$$

15 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$\frac{3}{2}x^{2}-x-15=15-15$$

Die Subtraktion von 15 von sich selbst ergibt 0.

$$\frac{3}{2}x^{2}-x-15=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch \frac{3}{2}, b durch -1 und c durch -15, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times \frac{3}{2}\left(-15\right)}}{2\times \frac{3}{2}}$$

Multiplizieren Sie -4 mit \frac{3}{2}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-6\left(-15\right)}}{2\times \frac{3}{2}}$$

Multiplizieren Sie -6 mit -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+90}}{2\times \frac{3}{2}}$$

Addieren Sie 1 zu 90.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{91}}{2\times \frac{3}{2}}$$

Das Gegenteil von -1 ist 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{91}}{2\times \frac{3}{2}}$$

Multiplizieren Sie 2 mit \frac{3}{2}.

$$x=\frac{1±\sqrt{91}}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±\sqrt{91}}{3}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 1 zu \sqrt{91}.

$$x=\frac{\sqrt{91}+1}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±\sqrt{91}}{3}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{91} von 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{91}}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{91}+1}{3} x=\frac{1-\sqrt{91}}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$\frac{3}{2}x^{2}-x=15$$

Beide Seiten der Gleichung durch \frac{3}{2} dividieren, was gleichbedeutend mit der Multiplikation beider Seiten mit dem Kehrwert des Bruchs ist.

$$\frac{\frac{3}{2}x^{2}-x}{\frac{3}{2}}=\frac{15}{\frac{3}{2}}$$

Division durch \frac{3}{2} macht die Multiplikation mit \frac{3}{2} rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{\frac{3}{2}}\right)x=\frac{15}{\frac{3}{2}}$$

Dividieren Sie -1 durch \frac{3}{2}, indem Sie -1 mit dem Kehrwert von \frac{3}{2} multiplizieren.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{15}{\frac{3}{2}}$$

Dividieren Sie 15 durch \frac{3}{2}, indem Sie 15 mit dem Kehrwert von \frac{3}{2} multiplizieren.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=10$$

Dividieren Sie -\frac{2}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=10+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=10+\frac{1}{9}$$

Addieren Sie 10 zu \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{91}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{91}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{91}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{91}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{91}}{3}$$

Addieren Sie \frac{1}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{91}+1}{3} x=\frac{1-\sqrt{91}}{3}$$