8x=x^2-9 lösen

$$8x= { x }^{ 2 } -9$$

Nach x auflösen

$$x=-1$$

$$x=9$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$8x-x^{2}=-9$$

Auf beiden Seiten 9 addieren.

$$8x-x^{2}+9=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-x^{2}+8x+9=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -x^{2}+ax+bx+9 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=8 ab=-9=-9$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -9 ergeben.

$$-1,9 -3,3$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+9=8 -3+3=0$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 8 ergibt.

$$a=9 b=-1$$

-x^{2}+8x+9 als \left(-x^{2}+9x\right)+\left(-x+9\right) umschreiben.

$$\left(-x^{2}+9x\right)+\left(-x+9\right)$$

Klammern Sie -x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$-x\left(x-9\right)-\left(x-9\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-9 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-9\right)\left(-x-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-9=0 und -x-1=0.

$$x=9 x=-1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$8x-x^{2}=-9$$

Auf beiden Seiten 9 addieren.

$$8x-x^{2}+9=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-x^{2}+8x+9=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch 8 und c durch 9, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-1\right)\times 9}}{2\left(-1\right)}$$

8 zum Quadrat.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-1\right)\times 9}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+4\times 9}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 4 mit 9.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+36}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 64 zu 36.

$$x=\frac{-8±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 100.

$$x=\frac{-8±10}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$x=\frac{-8±10}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-8±10}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -8 zu 10.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Dividieren Sie 2 durch -2.

$$x=-1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-8±10}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 10 von -8.

$$x=-\frac{18}{-2}$$

Dividieren Sie -18 durch -2.

$$x=9$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-1 x=9$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$8x-x^{2}=-9$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-x^{2}+8x=-9$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-x^{2}+8x}{-1}=-\frac{9}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{8}{-1}x=-\frac{9}{-1}$$

Dividieren Sie 8 durch -1.

$$x^{2}-8x=-\frac{9}{-1}$$

Dividieren Sie -9 durch -1.

$$x^{2}-8x=9$$

Dividieren Sie -8, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -4 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -4 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=9+\left(-4\right)^{2}$$

-4 zum Quadrat.

$$x^{2}-8x+16=9+16$$

Addieren Sie 9 zu 16.

$$x^{2}-8x+16=25$$

Faktor x^{2}-8x+16. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-4\right)^{2}=25$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Vereinfachen.

$$x-4=5 x-4=-5$$

Addieren Sie 4 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=9 x=-1$$