84x^2+4sqrt{3}x+3=0 lösen

$$84 x ^ { 2 } + 4 \sqrt { 3 } x + 3 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0,041239305+0,184427778i$$

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0,041239305-0,184427778i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 84, b durch 4\sqrt{3} und c durch 3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{\left(4\sqrt{3}\right)^{2}-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

4\sqrt{3} zum Quadrat.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 84.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-336\times 3}}{2\times 84}$$

Multiplizieren Sie -336 mit 3.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-1008}}{2\times 84}$$

Addieren Sie 48 zu -1008.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{-960}}{2\times 84}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -960.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{2\times 84}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 84.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -4\sqrt{3} zu 8i\sqrt{15}.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}+8\sqrt{15}i}{168}$$

Dividieren Sie -4\sqrt{3}+8i\sqrt{15} durch 168.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8i\sqrt{15} von -4\sqrt{3}.

$$x=\frac{-8\sqrt{15}i-4\sqrt{3}}{168}$$

Dividieren Sie -4\sqrt{3}-8i\sqrt{15} durch 168.

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

3 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3-3=-3$$

Die Subtraktion von 3 von sich selbst ergibt 0.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x=-3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 84.

$$\frac{84x^{2}+4\sqrt{3}x}{84}=-\frac{3}{84}$$

Division durch 84 macht die Multiplikation mit 84 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{4\sqrt{3}}{84}x=-\frac{3}{84}$$

Dividieren Sie 4\sqrt{3} durch 84.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{3}{84}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-3}{84} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{1}{28}$$

Dividieren Sie \frac{\sqrt{3}}{21}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{\sqrt{3}}{42} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{\sqrt{3}}{42} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{1}{28}+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}$$

\frac{\sqrt{3}}{42} zum Quadrat.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{1}{28}+\frac{1}{588}$$

Addieren Sie -\frac{1}{28} zu \frac{1}{588}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{5}{147}$$

Faktor x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{5}{147}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{147}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{\sqrt{3}}{42}=\frac{\sqrt{15}i}{21} x+\frac{\sqrt{3}}{42}=-\frac{\sqrt{15}i}{21}$$

\frac{\sqrt{3}}{42} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$