84x^2+70x-294 lösen

$$84 { x }^{ 2 } +70x-294$$

Faktorisieren

$$14\left(2x-3\right)\left(3x+7\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 14 aus.

$$14\left(6x^{2}+5x-21\right)$$

Betrachten Sie 6x^{2}+5x-21. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 6x^{2}+ax+bx-21 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=5 ab=6\left(-21\right)=-126$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -126 ergeben.

$$-1,126 -2,63 -3,42 -6,21 -7,18 -9,14$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+126=125 -2+63=61 -3+42=39 -6+21=15 -7+18=11 -9+14=5$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 5 ergibt.

$$a=-9 b=14$$

6x^{2}+5x-21 als \left(6x^{2}-9x\right)+\left(14x-21\right) umschreiben.

$$\left(6x^{2}-9x\right)+\left(14x-21\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 7 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(2x-3\right)+7\left(2x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-3\right)\left(3x+7\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$14\left(2x-3\right)\left(3x+7\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$84x^{2}+70x-294=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 84\left(-294\right)}}{2\times 84}$$

70 zum Quadrat.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 84\left(-294\right)}}{2\times 84}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 84.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-336\left(-294\right)}}{2\times 84}$$

Multiplizieren Sie -336 mit -294.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900+98784}}{2\times 84}$$

Addieren Sie 4900 zu 98784.

$$x=\frac{-70±\sqrt{103684}}{2\times 84}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 103684.

$$x=\frac{-70±322}{2\times 84}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 84.

$$x=\frac{-70±322}{168}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-70±322}{168}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -70 zu 322.

$$x=\frac{252}{168}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{252}{168} um den niedrigsten Term, indem Sie 84 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-70±322}{168}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 322 von -70.

$$x=-\frac{392}{168}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-392}{168} um den niedrigsten Term, indem Sie 56 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{3}{2} und für x_{2} -\frac{7}{3} ein.

$$84x^{2}+70x-294=84\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{7}{3}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$84x^{2}+70x-294=84\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x+\frac{7}{3}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{3}{2} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$84x^{2}+70x-294=84\times \frac{2x-3}{2}\left(x+\frac{7}{3}\right)$$

Addieren Sie \frac{7}{3} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$84x^{2}+70x-294=84\times \frac{2x-3}{2}\times \frac{3x+7}{3}$$

Multiplizieren Sie \frac{2x-3}{2} mit \frac{3x+7}{3}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$84x^{2}+70x-294=84\times \frac{\left(2x-3\right)\left(3x+7\right)}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$84x^{2}+70x-294=84\times \frac{\left(2x-3\right)\left(3x+7\right)}{6}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 6 in 84 und 6 aufheben.

$$84x^{2}+70x-294=14\left(2x-3\right)\left(3x+7\right)$$

Auswerten

$$84x^{2}+70x-294$$