81x^2+180x+100 lösen

$$81 x ^ { 2 } + 180 x + 100$$

Faktorisieren

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 81x^{2}+ax+bx+100 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=180 ab=81\times 100=8100$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 8100 ergeben.

$$1,8100 2,4050 3,2700 4,2025 5,1620 6,1350 9,900 10,810 12,675 15,540 18,450 20,405 25,324 27,300 30,270 36,225 45,180 50,162 54,150 60,135 75,108 81,100 90,90$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+8100=8101 2+4050=4052 3+2700=2703 4+2025=2029 5+1620=1625 6+1350=1356 9+900=909 10+810=820 12+675=687 15+540=555 18+450=468 20+405=425 25+324=349 27+300=327 30+270=300 36+225=261 45+180=225 50+162=212 54+150=204 60+135=195 75+108=183 81+100=181 90+90=180$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 180 ergibt.

$$a=90 b=90$$

81x^{2}+180x+100 als \left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right) umschreiben.

$$\left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right)$$

Klammern Sie 9x in der ersten und 10 in der zweiten Gruppe aus.

$$9x\left(9x+10\right)+10\left(9x+10\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 9x+10 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Umschreiben als binomisches Quadrat.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Schritte unter Verwendung des Quadrats von Binomen

Dieses Trinom hat die Form eines trinomischen Quadrats, möglicherweise mit einem gemeinsamen Faktor multipliziert. Trinomische Quadrate können durch Finden der Quadratwurzeln des führenden und des schließenden Terms in Faktoren zerlegt werden.

$$factor(81x^{2}+180x+100)$$

Suchen Sie den größten gemeinsamen Faktor der Koeffizienten.

$$gcf(81,180,100)=1$$

Suchen Sie die Quadratwurzel des führenden Terms 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Suchen Sie die Quadratwurzel des schließenden Terms 100.

$$\sqrt{100}=10$$

Das trinomische Quadrat ist das Quadrat des Binoms, das die Summe oder Differenz der Quadratwurzeln des führenden und des schließenden Terms ist, wodurch das Vorzeichen durch das Vorzeichen des mittleren Terms des trinomischen Quadrats bestimmt wird.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$81x^{2}+180x+100=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

180 zum Quadrat.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 81.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

Multiplizieren Sie -324 mit 100.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Addieren Sie 32400 zu -32400.

$$x=\frac{-180±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 0.

$$x=\frac{-180±0}{2\times 81}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 81.

$$x=\frac{-180±0}{162}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -\frac{10}{9} und für x_{2} -\frac{10}{9} ein.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x+\frac{10}{9}\right)\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Addieren Sie \frac{10}{9} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Addieren Sie \frac{10}{9} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\times \frac{9x+10}{9}$$

Multiplizieren Sie \frac{9x+10}{9} mit \frac{9x+10}{9}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{9\times 9}$$

Multiplizieren Sie 9 mit 9.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{81}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 81 in 81 und 81 aufheben.

$$81x^{2}+180x+100=\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Auswerten

$$\left(9x+10\right)^{2}$$